[b]باب:
الدوال كثيرات
الحدود
مسائل الدرجة
الثانية
النشاط الأول :
1) نشر ثم تبسيط وترتيب العبارة : x3+2x+1)(x2+1) )
لدينا : 3x3+x2+2x+1 + ( x3+2x+1)(x2+1)=x5 ( 2 العدد 103121 عدد أولي
1 + 20 + 100+ 3000 + 100000=103121 1 + 1 10. 2 + 103 .3+ 105=
بو ضع x=10 نجد : ( 1 + 102 ) ( 1 + 10 . 2 + 103 ) = 103121
العدد 103121 هو جداء عددين حقيقين إذن أنه ليس أولي
النشاط الثاني :
1) x+1)(x+5)=x2+6x+5)
(x+3)2-4=x2+6x+5
2 ) أ) f(x)=0 s1={-1;-5}
ب) f(x)=5 s2={-6;0}
ج) f(x) +3=0 s3={-4;-2}
د) f(x)=x+1 s4={-1;-6}
ه) f(x)=-4 s5={-3}
و) f(x)+20=0 s6={ }
1)الدوال كثيرات الحدود :
2)الدالة كثير الحدود :
تعريف : نسمي دالة كثير الحدود ( أو كثير الحدود ) كل دالة f معرفة على ب :
حيث عدد طبيعي أعداد حقيقية
مثال : الدالة المعرفة على
ليست دالة كثير الحدود لأنها ليست من الشكل المعطى
1) درجة كثير حدود :
مبرهنة وتعريف : كل دالة كثير حدود غير معدومة f تكتب بطريقة وحيدة على الشكل :
يسمى العدد الطبيعي n درجة كثير الحدود f ،تسمى الأعداد
معاملاته ويسمى الحد الذي درجته p .
تساوي كثيري حدود :
مبرهنة : *) يكون كثير حدود معدوما إذا وفقط إذا كانت كل معاملاته معدومة .
*) يكون كثيرا حدود ، غير معدومين ، متساويين إذا وفقط إذا كانا من نفس الدرجة
وكانت معاملات الحدود من نفس الدرجة متساوية .
-1-
طرائق تمرين رقم 27 ص 54
عمليات على كثيرات الحدود:
1) جذر كثير حدود :
تعريف : ليكن f كثير حدود درجته أكبر من أو تساوي 1 و عدد حقيقي .
العدد جذر لكثير الحدود f يعني
مثال : f(x)=x2-4
-2 جذر لكثير الحدود f لأن : f(-2)=0 بينما 1 ليس جذر لكثير الحدود f لأن
2)تحليل كثير حدود باستعمال العامل :
مبرهنة : ليكن f كثير حدود درجته أكبر من أو تساوي 1 و عدد حقيقي .
إذا كان ( جذر لكثير الحدود f ) فإنه يوجد كثير حدود g بحيث
من أجل كل عدد حقيقي x لدينا :
مثال : f(x)= x3-x2-4x+4
- تحقق أن 2 جذر لكثير الحدود f
- عين كثير حدود g بحيث يكون من أجل كل عدد حقيقي x :
لدينا : f(2)=0 ومنه 2 جذر ل : f غذن حسب المبرهنة يوجد كثير حدود g حيث من أجل كل عدد حقيقي x لدينا
الطريقة النظرية : بما أن f درجته 3 فإن درجة g هي 2 أي : g(x) = ax2+bx+c حيث a ; b ; c
أعداد حقيقية و a غير معدوم حيث من أجل كل عدد حقيقي x لدينا : f(x)=(x-2)(ax2+bx+c)
أي : f(x)=ax3+bx2+cx-2ax2-2bx-2c
ومنه : f(x)=ax3+(b-2a)x2+(c-2b)x-2c
بالمطابقة نجد : a=1 و b-2a=-1و c-2b=-4 و -2c=4
ومنه : a=1 و b=1 و c=-2
إذن : g(x)=x2+x-2
وبالتالي : f(x)=(x-2)(x2+x-2)
الطريقة العملية : x3-x2-4x+4 x-2
X2+x-2 X3-2x2
X2-4x+4
X2-2x
-2x+4
-2x+4
0
تمرين رقم 25 ص53 : -2-
المعادلات من الدرجة الثانية 1)المعادلة من الدرجة الثانية :
تعريف : تسمى معادلة من الدرجة الثانية ،ذات المجهول x كل معادلة يمكن كتابتها على الشكل :
x2+bx+c=0 a حيث a وb وc أعداد حقيقية ثابتة و a غير معدوم .
2) الشكل النموذجي لثلاثي الحدود : ax2+bx+c ( a غير معدوم )
من أجل كل عدد حقيقي x لدينا :
بوضع : نجد :
*) يسمى العدد : مميز ثلاثي الحدود ax2+bx+c ونرمز إليه بالرمز
*) يسمى العدد الشكل النموذجي لثلاثي الحدود ax2+bx+c
مثال : نضع : f(x)=5x2-3x-3
الشكل النموذجي ل : f(x)
حل المعادلة : ax2+bx+c=0 ( a غير معدوم )
نعتبر المعادلة من الدرجة الثانية ذات المجهول x التالية : و ax2+bx+c=0 وباستعمال الشكل النموذجي
يمكن البرهان على المبرهنة التالية :
-3-
إذا كان حلول المعادلة ax2+bx+c=0هي : يتم تحليل ax2+bx+cعلى الشكل
لا توجد حلول لا يمكن تحليل ax2+bx+c
تمرين : حل في المعادلات التالية :
1) x2-2x=0 2) x2-9=0 3)x2+5=0 4) –x2+3x+4=0
5 ) x2-2x+1=0 6)x2+200x+9999=0 7) (2x+1)2-2(2x+1)-3=0
المتراجحات من الدرجة الثانية :
1) المتراجحة من الدرجة الثانية :
تعريف : نسمي متراجحة من الدرجة الثانية ،ذات المجهول الحقيقي ، كل متراجحة يمكن كتابتها على أحد الشكلين : ، حيث :a وb وc أعداد حقيقية ثابتة مع a غير معدوم
2) إشارة ثلاثي الحدود ax2+bx+c( a غير معدوم )
مبرهنة:
المعادلة ax2+bx+c=0 لا تقبل حلولا
من أجل كل عدد حقيقي x إشارة ax2+bx+c هي من إشارة a
المعادلة ax2+bx+c=0 تقبل حلا مضاعفا x1 المعادلة ax2+bx+c=0 تقبل حلين متمايزين x1 وx2
x
إشارة a 0 إشارة (-a) 0 إشارة a ax2+bx+c
x
إشارة a 0 إشارة a ax2+bx+c
تمرين : حل في المتراجحات التالية :
1) 2x2+x-6> 0 2) -3x2+8x-4< 0 3) -6x2+x-2 < 0
4) 5x2-x+1 > 0 5) -x2+3 > 0 6) x2-2x <0
-4-
